Ley de Cosenos

 La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.


La ley de los cosenos establece:


  c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .

La ley de los cosenos también puede establecerse como

 b – 2 ac cos or

 a – 2 bc cos .

Ejemplo de como se usa:

Dado = 11, = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

  

    

  Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

    


Ejercicios:

1.- En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55° , Resuelva el triángulo

 

Solución: 

Para poder resolver el siguiente ejercicio, asumimos que el lado que deseamos encontrar es el lado b, puesto que el ángulo opuesto es B, entonces nuestra fórmula queda:

\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cdot \cos B

De esto resulta

\displaystyle {{b}^{2}}={{13}^{2}}+{{19}^{2}}-2(13)(19)\cdot \cos (55{}^\circ )

\displaystyle {{b}^{2}}=169+361-494(0.5735)

Por lo que:

\displaystyle {{b}^{2}}=246.6532

\displaystyle b=15.7052cm

Ahora tenemos los tres lados de nuestro triángulo, pero nos hace falta conocer los ángulos, para ello, considero un ángulo que deseo calcular que bien puede ser el ángulo A o el ángulo C.

En este caso, elegiré el ángulo A, por lo que mi ecuación quedará:

\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot \cos A

Sin embargo, el valor del lado a, b y c ya los tengo, entonces procedo a despejar el coseno de A, para resolver.

\displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-2bc\cdot \cos A

Despejando aún más…

\displaystyle \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}=\cos A

Invirtiendo la ecuación

\displaystyle \cos A=\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}

Listo, ahora es momento de sustituir nuestros valores:

\displaystyle \cos A=\frac{{{13}^{2}}-{{15.7052}^{2}}-{{19}^{2}}}{-2(15.7052)(19)}=0.7350

Ahora aplicando coseno inverso.

\displaystyle A={{\cos }^{-1}}(0.7350)=42.69{}^\circ

Por lo que el ángulo A, es de 42.69 grados.

Ahora mediante la suma de ángulos internos en un triángulo, aplicamos la propiedad para encontrar el ángulo restante:

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ

\displaystyle 42.69{}^\circ +55{}^\circ +\angle C=180{}^\circ

Despejando a <C

\displaystyle \angle C=180{}^\circ -42.69{}^\circ +55{}^\circ =82.31{}^\circ

2.- Un ingeniero topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto A, y con los únicos datos que tiene hasta ahora son las distancias de el respecto a los otros edificios, 180 m y 210 m, respectivamente, también sabe que el ángulo formado por los dos edificios y su posición actual “A” es de 39.4° ¿Qué distancia hay entre los dos edificios?  

Solución:

Para este caso es importante analizar que tipos de datos tenemos al comienzo, y leyendo el enunciado del problema, así como viendo la imagen podemos darnos cuenta que solamente tenemos dos lados y un ángulo entre dichos lados, es lógico que lo primero que tenemos que hacer, será utilizar la ley de Cosenos.

En este ejercicio vemos que el ángulo que tenemos como dato, es opuesto a la distancia que deseamos encontrar, por lo que nuestra fórmula es ideal para aplicarla de comienzo.

\displaystyle {{d}^{2}}={{(180m)}^{2}}+{{(210m)}^{2}}-2(180m)(210m)\cos (39.4{}^\circ )

despejando el cuadrado del primer miembro:

\displaystyle d=\sqrt{{{(180m)}^{2}}+{{(210m)}^{2}}-2(180m)(210m)\cos (39.4{}^\circ )}

Empezamos a resolver:

\displaystyle d=\sqrt{18081.34{{m}^{2}}}

\displaystyle d=134.47m






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