Proyecto Semestral: Ley de Senos

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces .

Esta ley se utiliza cuando se conocen:

1) Dos ángulos interiores del triángulo y uno de sus lados;
2) Dos lados del triángulo y el ángulo opuesto a cualquiera de estos lados.

Ejercicios:

1.- En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Colocando, los datos que tenemos en nuestro triángulo.

$\displaystyle \angle A+42{}^\circ +76{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle A+118{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle A=180{}^\circ -118{}^\circ =62{}^\circ$

Por lo que el ángulo en A, es de 62 grados.

$\displaystyle \angle A=62{}^\circ$

Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula:

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$

Se encuentra el lado a

$\displaystyle \frac{a}{sen62{}^\circ }=\frac{b}{sen42{}^\circ }$

Por lo que sustituyendo procedemos a despejar.

$\displaystyle a=\frac{b\cdot sen62{}^\circ }{sen42{}^\circ }=19.79cm$

Se encuentra el lado restante.

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}$

$\displaystyle \frac{19.79cm}{sen62{}^\circ }=\frac{c}{sen76{}^\circ }$

despejando a “c”

$\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }$

realizando la operación:

$\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }=21.75cm$

por lo que el lado restante “c” mide 21.75 cm.

2.- En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Solución

En este ejemplo a diferencia del anterior, no disponemos de dos ángulos, solamente de dos lados, por lo cual no podemos sumar los ángulos internos, e iniciar el proceso como se hizo anteriormente.

Pero el problema nos proporciona un lado p = 12cm, y el ángulo opuesto a éste de 76°, por lo que podemos obtener otro ángulo, mediante la fórmula de senos.

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}=\frac{n}{senN}$

podemos elegir que ángulo deseamos encontrar, para este ejemplo, usaremos la igualdad:

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}$

despejando a Sen M

$\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}$

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula, obtenemos:

$\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}=\frac{(8cm)sen(76{}^\circ )}{12cm}=0.6469$

sacando la inversa del seno, para encontrar el ángulo, tenemos:

$\displaystyle se{{n}^{-1}}M=0.6469$

$\displaystyle M=40{}^\circ .18$

Ahora, como sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, encontremos el ángulo faltante.

$\displaystyle 180{}^\circ =\angle M+\angle N+\angle P$

$\displaystyle 180{}^\circ =40.18{}^\circ +76{}^\circ +\angle P$

$\displaystyle \angle N=180{}^\circ -40.18{}^\circ -76{}^\circ$

$\displaystyle \angle N=63.42{}^\circ$

Por lo que el ángulo restante, es de 63.42°

El siguiente lado que nos falta por encontrar, lo volveremos hacer con la ley de senos.

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{n}{senN}$

Despejando a ” n”.

$\displaystyle n=\frac{p\cdot senN}{senP}$

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula:

$\displaystyle n=\frac{(12cm)\cdot sen(63.42{}^\circ )}{sen(76{}^\circ )}=11.09cm$

Por lo que el valor de n = 11.09 cm.

3.- En el triángulo ABC, a = 24 cm, <B = 33°, y <A = 108°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Veamos, el triángulo formado con los datos propuestos:

Solución:

Con los datos obtenidos en el problema, es mucho más fácil hacer la relación de la fórmula a utilizar.

Como deseamos encontrar el lado b y c, podemos aplicar lo siguiente:

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}$

Posteriormente, despejar a “b”, quedando así:

$\displaystyle b=\frac{\left( a \right)\left( senB \right)}{senA}$

Sustituyendo

$\displaystyle b=\frac{\left( a \right)\left( senB \right)}{senA}=\frac{\left( 24cm \right)\left( sen33{}^\circ \right)}{sen108{}^\circ }\approx 13.74$

Podemos ahora calcular el ángulo C, haciendo lo siguiente:

$\displaystyle 180{}^\circ =108{}^\circ +33{}^\circ +\sphericalangle C$

Qué obtendríamos:

$\displaystyle \sphericalangle C=180{}^\circ -108{}^\circ -33{}^\circ =39{}^\circ$

$\displaystyle \sphericalangle C=39{}^\circ$

Ahora procedemos a calcular el lado “C”

Aplicando la siguiente fórmula:

$\displaystyle \frac{c}{senC}=\frac{b}{senB}$

Obtenemos que:

$\displaystyle c=\frac{\left( b \right)\left( senC \right)}{senB}=\frac{\left( 13.74cm \right)\left( sen39{}^\circ \right)}{sen33{}^\circ }\approx 15.87$

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Ley de Senos

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